الدوائر المنطقية المركبة البسيطة: التعبيرات البوليانية والتبسيط

المقدمة

الجبر البولياني هو نظام رياضي يستخدم في الدوائر الرقمية والبرمجة والذكاء الاصطناعي. يعتمد على قيمتين فقط: 1 (صحيح/True) و 0 (خطأ/False). سنستعرض في هذا الدرس المفاهيم الأساسية للجبر البولياني مع أمثلة وتطبيقات عملية.

1. التعبير البولياني لدائرة منطقية

كل دائرة منطقية يمكن تمثيلها بتعبير جبر بولياني، والعكس صحيح.

مثال:

الدائرة التالية:

A -->[ AND ]-- F
B -->[    ]
        

لها التعبير البولياني:

F = A ∧ B

تمرين 1:

اكتب التعبير البولياني للدائرة:

A -->[ OR ]----[ NOT ]-- F
B -->[    ]
        

الحل

F = ¬(A ∨ B)

2. تمثيل دارة منطقية باستعمال التعبير البولياني

يمكن تحويل أي تعبير بولياني إلى دائرة منطقية باستخدام البوابات المنطقية الأساسية (AND, OR, NOT, XOR, إلخ).

مثال:

مثل التعبير F = (A ∧ B) ∨ ¬C كدائرة منطقية.

التمثيل:

A -->[ AND ]-----
B -->[    ]     [ OR ]-- F
C -->[ NOT ]-----
        

تمرين 2:

ارسم الدائرة المنطقية للتعبير:

G = (A ⊕ B) ∧ (C ∨ D)

3. تمثيل دارة منطقية من خلال جدول الحقيقة

جدول الحقيقة يوضح جميع المدخلات الممكنة والمخرجات المقابلة لدائرة منطقية.

مثال: لدائرة F = A ∧ B، جدول الحقيقة هو:

A	B	F = A ∧ B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

تمرين 3:

أنشئ جدول الحقيقة للدائرة:

H = ¬(A ∨ B)

4. تحويل التعبير البولياني إلى جدول الحقيقة

لتحويل أي تعبير بولياني إلى جدول حقيقة:

1. حدد عدد المتغيرات (n) → عدد الصفوف = 2ⁿ.
2. اكتب جميع التوليفات الممكنة للمدخلات.
3. احسب المخرجات لكل توليفة.

مثال:

التعبير F = A ⊕ B له جدول الحقيقة التالي:

A	B	F = A ⊕ B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

تمرين 4:

حول التعبير K = (A ∧ B) ∨ ¬C إلى جدول حقيقة.

5. استخدام نظريات الجبر البولياني في تبسيط التعبيرات المنطقية

يمكن تبسيط الدوائر المعقدة باستخدام النظريات البوليانية مثل:

• قوانين دي مورجان:
  • ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B
  • ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B
• قوانين التوزيع:
  • A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
  • A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

مثال:

بسّط التعبير F = ¬(A ∨ B) ∧ ¬A.

الحل:

• طبق دي مورجان:
  • ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B
• إذن: F = (¬A ∧ ¬B) ∧ ¬A
• بسّط باستخدام A ∧ A = A:
  • F = ¬A ∧ ¬B

تمرين 5:

بسّط التعبير G = (A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B) باستخدام الجبر البولياني.

6. تطبيقات عملية

1) تصميم دائرة XOR باستخدام AND وOR وNOT

A ⊕ B = (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B)

التمثيل:

A -->[ NOT ]----[ AND ]--
      [    ]     [    ]
B -->[    ]--[ NOT ]--[ AND ]--
      [ OR ]---------------- F
        

2) تبسيط دائرة إنذار

لو كان لدينا نظام إنذار يعمل عند:

F = (حركة ∧ باب مفتوح) ∨ (نافذة مكسورة)

يمكن تبسيطه باستخدام خريطة كارنو أو قوانين الجبر البولياني.

الخاتمة

التعبيرات البوليانية ↔ دوائر منطقية ↔ جداول الحقيقة.

التبسيط يجعل الدوائر أسرع وأرخص في التصنيع.

التطبيقات تشمل المعالجات، الذكاء الاصطناعي، وأنظمة التحكم.

جرب بنفسك: استخدم Logic.ly لتصميم دوائر منطقية!

تمارين إضافية

• حول F = (A ∨ B) ∧ ¬C إلى جدول حقيقة.
• بسّط H = (A ∨ B) ∧ (¬A ∨ B).
• صمم دائرة XNOR Y باستخدام بوابات NAND فقط.

إجابات مقترحة

1. جدول حقيقة بـ 8 صفوف.
2. H = B (باستخدام قانون الامتصاص).
3. X NOR Y = NOT (X XOR Y) = NOT ( (X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ Y) ).