.png "دروس المعلوماتية")
أساسيات الجبر البولياني: العمليات المنطقية والنظريات
المقدمة
الجبر البولياني هو نظام رياضي يستخدم في الدوائر الرقمية والبرمجة والذكاء الاصطناعي. يعتمد على قيمتين فقط: 1 (صحيح/True) و 0 (خطأ/False). سنستعرض في هذا الدرس المفاهيم الأساسية للجبر البولياني مع أمثلة وتطبيقات عملية.
1. تعريف المتغير المنطقي
المتغير المنطقي (Boolean Variable): يأخذ قيمة إما 0 أو 1 فقط.
أمثلة:
- A = 1 (صحيح)
- B = 0 (خطأ)
2. العمليات المنطقية الأساسية
1) عملية NOT (العاكس)
- الرمز: ¬A أو A'
- الوصف: تعكس قيمة المدخل.
جدول الحقيقة:
| A | NOT A |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
مثال:
إذا كان A = 1، فإن NOT A = 0.
2) عملية AND (الضرب المنطقي)
- الرمز: A ∧ B أو A.B
- الوصف: الناتج يكون 1 فقط إذا كان كل المدخلات 1.
جدول الحقيقة:
| A | B | A AND B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
مثال:
1 AND 0 = 0.
3) عملية OR (الجمع المنطقي)
- الرمز: A ∨ B أو A+B
- الوصف: الناتج يكون 1 إذا كان أي من المدخلات 1.
جدول الحقيقة:
| A | B | A OR B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
مثال:
1 OR 0 = 1.
4) عملية NAND (NOT AND)
- الرمز: A ⊼ B
- الوصف: عكس ناتج AND.
جدول الحقيقة:
| A | B | A NAND B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
مثال:
1 NAND 1 = 0.
5) عملية NOR (NOT OR)
- الرمز: A ⊽ B
- الوصف: عكس ناتج OR.
جدول الحقيقة:
| A | B | A NOR B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
مثال:
0 NOR 1 = 0.
6) عملية XOR (OR الحصري)
- الرمز: A ⊕ B
- الوصف: الناتج 1 إذا كان المدخلان مختلفين.
جدول الحقيقة:
| A | B | A XOR B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
مثال:
1 XOR 0 = 1.
7) عملية XNOR (NOT XOR)
- الرمز: A ⊙ B
- الوصف: عكس ناتج XOR (التكافؤ).
جدول الحقيقة:
| A | B | A XNOR B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
مثال:
1 XNOR 1 = 1.
3. التعبير المنطقي (Boolean Expression)
التعريف: تركيب عمليات منطقية باستخدام المتغيرات والثوابت.
أمثلة:
- F = A ∧ (B ∨ C)
- G = ¬(A ⊕ B)
4. أسبقية العمليات المنطقية
- الأقواس ( )
- NOT (¬)
- AND (∧)
- OR (∨)
- XOR (⊕)
مثال:
A ∨ B ∧ C تعني A ∨ (B ∧ C).
5. نظريات الجبر البولياني
1) قوانين التبديل (Commutative)
- A ∧ B = B ∧ A
- A ∨ B = B ∨ A
2) قوانين التجميع (Associative)
- (A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C)
- (A ∨ B) ∨ C = A ∨ B ∨ C
3) قوانين التوزيع (Distributive)
- A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
- A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
4) قوانين دي مورجان (De Morgan's Laws)
- ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B
- ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B
5) قوانين الهوية (Identity)
- A ∧ 1 = A
- A ∨ 0 = A
6) قوانين الإلغاء (Annulment)
- A ∧ 0 = 0
- A ∨ 1 = 1
7) قوانين التكامل (Complement)
- A ∧ ¬A = 0
- A ∨ ¬A = 1
6. تمارين تطبيقية
التمرين 1: إنشاء جدول حقيقة
أنشئ جدول حقيقة للتعبير المنطقي:
F = (A ∧ B) ∨ ¬C
التمرين 2: تطبيق قوانين دي مورجان
بسّط التعبير التالي باستخدام قوانين دي مورجان:
¬(X ∨ Y) ∧ ¬Z
التمرين 3: تحليل دائرة منطقية
إذا كانت لديك الدائرة المنطقية التالية:
F = A ⊕ (B ∧ C)
احسب قيمة F عندما:
- A = 1, B = 0, C = 1.
الخاتمة
يُعد الجبر البولياني أساسًا للعديد من التطبيقات مثل:
- تصميم الدوائر الرقمية (Logic Gates)
- قواعد البيانات (استعلامات SQL)
- الذكاء الاصطناعي (شبكات عصبية)
جرب بنفسك: استخدم محاكي الدوائر المنطقية لتصميم بوابات AND/OR/NOT!
ملحق: جداول الحقيقة السريعة
| العملية | الرمز | الناتج عند (1,0) |
|---|---|---|
| NOT | ¬ | 1 → 0, 0 → 1 |
| AND | ∧ | 1 ∧ 0 = 0 |
| OR | ∨ | 1 ∨ 0 = 1 |
| XOR | ⊕ | 1 ⊕ 0 = 1 |