الأنظمة العددية وطرق التحويل بينها

تستخدم أجهزة الحاسوب والأنظمة الرقمية أنظمة عددية مختلفة لتمثيل البيانات ومعالجتها. أهم هذه الأنظمة:

• النظام العشري (Decimal - Base 10)
• النظام الثنائي (Binary - Base 2)
• النظام الثماني (Octal - Base 8)
• النظام السداسي عشر (Hexadecimal - Base 16)

في هذا المحتوى، سنستعرض كل نظام عددي بالتفصيل، ونتعلم كيفية التحويل بينها بطرق رياضية وعملية.

1. النظام العشري (Decimal - Base 10)

الخصائص:

• يستخدم 10 أرقام: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
• أساسه 10، أي أن كل خانة تمثل قوة للعدد 10.
• يُستخدم في الحياة اليومية والحسابات العامة.

تمثيل الأعداد العشرية:

العدد العشري 345 يمكن تفكيكه كالتالي:

3 × 10² + 4 × 10¹ + 5 × 10⁰ = 300 + 40 + 5 = 345

2. النظام الثنائي (Binary - Base 2)

الخصائص:

• يستخدم رقمين فقط: 0 و 1.
• أساسه 2، أي أن كل خانة تمثل قوة للعدد 2.
• يُستخدم في الحواسيب والدارات الرقمية لأن الترانزستورات تعمل بجهدين (ON/OFF).

تمثيل الأعداد الثنائية:

العدد الثنائي 1011 يمكن تحويله إلى عشري كالتالي:

1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 (عشري)

3. النظام الثماني (Octal - Base 8)

الخصائص:

• يستخدم 8 أرقام: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
• أساسه 8، أي أن كل خانة تمثل قوة للعدد 8.
• كان يُستخدم في الحواسيب القديمة، ولا يزال مفيدًا في بعض التطبيقات.

تمثيل الأعداد الثمانية:

العدد الثماني 47 يمكن تحويله إلى عشري كالتالي:

4 × 8¹ + 7 × 8⁰ = 32 + 7 = 39 (عشري)

4. النظام السداسي عشر (Hexadecimal - Base 16)

الخصائص:

• يستخدم 16 رمزًا: 0-9, A, B, C, D, E, F (حيث A=10, B=11, ..., F=15).
• أساسه 16، أي أن كل خانة تمثل قوة للعدد 16.
• يُستخدم في برمجة الحواسيب وعلم البيانات لتمثيل القيم الكبيرة باختصار.

تمثيل الأعداد السداسية عشر:

العدد السداسي عشر A3F يمكن تحويله إلى عشري كالتالي:

A × 16² + 3 × 16¹ + F × 16⁰ = 10 × 256 + 3 × 16 + 15 × 1 = 2560 + 48 + 15 = 2623 (عشري)

التحويل بين الأنظمة العددية

1. التحويل من النظام العشري إلى أنظمة أخرى

أ) التحويل من العشري إلى الثنائي (بقسمة على 2)

مثال: حول العدد 25 إلى ثنائي.

25 ÷ 2 = 12   باقي 1
12 ÷ 2 = 6    باقي 0
6 ÷ 2 = 3     باقي 0
3 ÷ 2 = 1     باقي 1
1 ÷ 2 = 0     باقي 1
            

النتيجة: اقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى → 11001

ب) التحويل من العشري إلى الثماني (بقسمة على 8)

مثال: حول العدد 92 إلى ثماني.

92 ÷ 8 = 11   باقي 4
11 ÷ 8 = 1    باقي 3
1 ÷ 8 = 0     باقي 1
            

النتيجة: اقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى → 134

ج) التحويل من العشري إلى السداسي عشر (بقسمة على 16)

مثال: حول العدد 255 إلى سداسي عشر.

255 ÷ 16 = 15  باقي 15 (F)
15 ÷ 16 = 0   باقي 15 (F)
            

النتيجة: اقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى → FF

2. التحويل من النظام الثنائي إلى أنظمة أخرى

أ) الثنائي → العشري (باستخدام قوى 2)

مثال: حول 1101 إلى عشري.

1 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13

ب) الثنائي → الثماني (بتجميع كل 3 خانات)

مثال: حول 101101 إلى ثماني.

قسّم إلى مجموعات من 3 (من اليمين): 101 | 101

101₂ = 5₈

النتيجة: 55

ج) الثنائي → السداسي عشر (بتجميع كل 4 خانات)

مثال: حول 11011010 إلى سداسي عشر.

قسّم إلى مجموعات من 4: 1101 | 1010

1101₂ = D₁₆

1010₂ = A₁₆

النتيجة: DA

3. التحويل من النظام الثماني والسداسي عشر إلى أنظمة أخرى

أ) الثماني → الثنائي (تحويل كل رقم إلى 3 خانات ثنائية)

مثال: حول 47 (ثماني) إلى ثنائي.

4₈ = 100₂

7₈ = 111₂

النتيجة: 100111

ب) السداسي عشر → الثنائي (تحويل كل رقم إلى 4 خانات ثنائية)

مثال: حول A3 (سداسي عشر) إلى ثنائي.

A₁₆ = 1010₂

3₁₆ = 0011₂

النتيجة: 10100011

الخلاصة

النظام	الأساس	الأرقام المستخدمة	الاستخدام الشائع
العشري	10	0-9	الحياة اليومية
الثنائي	2	0, 1	الحواسيب
الثماني	8	0-7	أنظمة قديمة
السداسي عشر	16	0-9, A-F	البرمجة والشبكات

يمكن التحويل بين الأنظمة باستخدام:

• القسمة على الأساس (للتحويل من العشري إلى أي نظام).
• تجميع الخانات (للتحويل بين الثنائي والثماني والسداسي عشر).
• قوى الأساس (للتحويل إلى العشري).

تمارين تطبيقية:

1. حول العدد العشري 128 إلى ثنائي وثماني وسداسي عشر.
2. حول العدد الثنائي 10101101 إلى عشري وثماني وسداسي عشر.
3. حول العدد السداسي عشر 2F7 إلى ثنائي وثماني وعشري.