تخزين الأعداد الحقيقية في الحاسوب (الدقة العادية والمضاعفة)

المقدمة

تخزين الأعداد الحقيقية في الحاسوب يتم باستخدام نظام الفاصلة العائمة (Floating-Point) وفق المعيار العالمي IEEE 754. هذا الدرس يشرح بالتفصيل:

• تمثيل الأعداد بدقة عادية (32 بت)
• تمثيل الأعداد بدقة مضاعفة (64 بت)
• الفروقات بينهما
• مشاكل الدقة والخطأ التقريبي

1. المعيار IEEE 754 (نظرة عامة)

يحدد هذا المعيار طريقتين رئيسيتين:

• الدقة العادية (Single Precision): 32 بت
• الدقة المضاعفة (Double Precision): 64 بت

مكونات التمثيل:

المكون	الدقة العادية (32 بت)	الدقة المضاعفة (64 بت)
بت الإشارة (S)	1 بت	1 بت
الأس (Exponent)	8 بت	11 بت
الجزء الكسري (Mantissa)	23 بت	52 بت
التحيز (Bias)	127	1023

2. تمثيل الدقة العادية (32 بت)

البنية:

S (1 بت) | Exponent (8 بت) | Mantissa (23 بت)

طريقة الحساب:

القيمة = (-1)^S × 1.M × 2^{E - 127}

مثال تطبيقي:

مثل العدد -13.75 بدقة عادية.

الحل:

• الإشارة (S): 1 (لأن العدد سالب)
• التحويل إلى ثنائي:
  • الجزء الصحيح: 13₁₀ = 1101₂
  • الجزء الكسري: 0.75₁₀ = 0.11₂
  • العدد الكامل: 13.75₁₀ = 1101.11₂
• التطبيع (Normalization):
  • 1101.11₂ = 1.10111 × 2³
• الأس (Exponent):
  • E = 3 + 127 = 130₁₀ = 10000010₂
• الجزء الكسري (Mantissa):
  • M = 10111000000000000000000₂
• التمثيل النهائي:
  • 1 10000010 10111000000000000000000₂

3. تمثيل الدقة المضاعفة (64 بت)

البنية:

S (1 بت) | Exponent (11 بت) | Mantissa (52 بت)

طريقة الحساب:

القيمة = (-1)^S × 1.M × 2^{E - 1023}

مثال تطبيقي:

مثل العدد 0.15625 بدقة مضاعفة.

الحل:

• الإشارة (S): 0 (موجب)
• التحويل إلى ثنائي:
  • 0.15625 × 2 = 0.3125 (خذ 0)
  • 0.3125 × 2 = 0.625 (خذ 0)
  • 0.625 × 2 = 1.25 (خذ 1)
  • 0.25 × 2 = 0.5 (خذ 0)
  • 0.5 × 2 = 1.0 (خذ 1)
  • 0.15625₁₀ = 0.00101₂
• التطبيع:
  • 0.00101₂ = 1.01 × 2^-3
• الأس:
  • E = -3 + 1023 = 1020₁₀ = 01111111100₂
• الجزء الكسري:
  • M = 0100000000000000000000000000000000000000000000000000₂
• التمثيل النهائي:
  • 0 01111111100 0100000000000000000000000000000000000000000000000000₂

4. مقارنة بين الدقة العادية والمضاعفة

المعيار	الدقة العادية (32 بت)	الدقة المضاعفة (64 بت)
النطاق التقريبي	±10±38	±10±308
الدقة العشرية	~7 أرقام	~15 رقم
استهلاك الذاكرة	4 بايت	8 بايت
الاستخدام الشائع	رسوميات، ألعاب	حسابات علمية، مالية
مثال على القيم الخاصة	NaN, Infinity	دقة أعلى في الحسابات

5. مشاكل الدقة والخطأ التقريبي

5.1. الأخطاء الشائعة

• خطأ التقريب (Rounding Error):
  • مثال: 0.1 + 0.2 ≠ 0.3 في الحاسوب!
  • السبب: لا يمكن تمثيل 0.1 بدقة في النظام الثنائي.
• الانزياح (Cancellation):
  • عند طرح عددين متقاربين جدًا، تفقد الدقة.

5.2. كيفية تجنب المشاكل

• استخدم الدقة المضاعفة للحسابات الحساسة.
• تجنب المقارنات المباشرة بين أعداد浮点数 (استخدم هامش خطأ مسموح به).

6. تمارين تطبيقية

التمرين 1: التحويل إلى Single Precision

حول العدد 7.3 إلى تمثيل 32 بت.

تلميح: 0.3 في الثنائي دوري!

التمرين 2: قراءة تمثيل Double Precision

فسر التمثيل التالي:

0 10000000010 110000000000000...0000₂ (52 بت للجزء الكسري)

التمرين 3: حساب الخطأ التقريبي

احسب الفرق بين (0.1 + 0.2) - 0.3 في Python أو أي لغة برمجة، وناقش النتيجة.

الخاتمة

الدقة العادية (32 بت) كافية لمعظم التطبيقات العادية.

الدقة المضاعفة (64 بت) ضرورية للحسابات العلمية الدقيقة.

فهم تمثيل Floating-Point يساعد في تجنب الأخطاء البرمجية الشائعة.

جرب بنفسك: استخدم محول IEEE 754 أونلاين للتحقق من تمارينك!

ملحق: قيم خاصة في IEEE 754

القيمة	الأس	الجزء الكسري
صفر	000...0	000...0
ما لا نهاية (∞)	111...1	000...0
NaN (Not a Number)	111...1	غير صفر